Сигнатура (линейная алгебра)

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

[math]\displaystyle{ x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_p-x^2_{p+1}-x^2_{p+2}-\cdots-x^2_{p+q}. }[/math]

Разность [math]\displaystyle{ p-q }[/math] между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел [math]\displaystyle{ (p, q) }[/math] или в виде [math]\displaystyle{ (+\cdots+-\cdots-) }[/math] с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных [math]\displaystyle{ x_1 x_2 }[/math] может быть приведена к каноническому виду [math]\displaystyle{ \tilde x^2_1 - \tilde x^2_2, }[/math] например, с помощью линейной замены переменных:

[math]\displaystyle{ x_1 =( \tilde x_1+ \tilde x_2), }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 =( \tilde x_1- \tilde x_2). }[/math]

Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] или в виде [math]\displaystyle{ (+-). }[/math]

См. также

• Псевдоевклидово пространство
• Пространство Минковского
• Квадратичная форма
• Линейная алгебра

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: М.: Наука, Физматлит, 1999.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.